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【扑克反水】德州扑克二四法则和所罗门法则的简单数学分析

一、二四法则和所罗门法则的简单介绍德州扑克中的“二四法则”和“所罗门法则”都是用来计算成牌概率的,二者的计算规则如下:

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一、二四法则和所罗门法则的简单介绍

德州扑克中的“二四法则”和“所罗门法则”都是用来计算成牌概率的,二者的计算规则如下:

假设出牌(Outs)数量是X(基础分析不考虑对手的手牌和Redraw的情况,下同),则:

A、二四法则:

1条街的成牌概率约=X*2*1%;

2条街的成牌概率约=X*4*1%;

B、所罗门法则是对二四法则的修正,一条街的情况和二四法则没区别,两条街的时候当Outs数目大于或等于9的时候,要在二四法则基础上加一个修正项,为:

2条街的成牌概率约=(X*4-(X-8))*1%

(由于录入方便性和网页演示问题,文中所有公式用Excel中公式格式展示)

举个例子:

翻牌抽同花Outs的数量=9,则用二四法则计算到河牌2条街的成牌概率=9*4*1%=36%;而用所罗门法则计算=(9*4-(9-8))*1%=35%——这里两个公式差异不大;

翻牌抽两头同花顺Outs的数量=15,则用二四法则计算到河牌2条街的成牌概率=15*4*1%=60%;而用所罗门法则计算=(15*4-(15-8))*1%=53%——这里两个公式差异就明显起来,所罗门法则明显更接近实际成牌概率。

二、进一步量化讨论二四法则和所罗门法则和实际成牌概率差异多大,适用的情况如何

将使用二四法则计算的成牌概率和实际概率差异用图表表示如下,其中两条街的实际成牌概率使用了高中数学中简单的排列组合知识:

德州扑克二四法则和所罗门法则的简单数学分析

1、考虑一条街的情况下,二四法则计算成牌概率和实际的差异假设为Y,Y和Ous数量X是一阶线性关系,其中二四法则算出的概率会比实际概率小一点点。

翻牌未发出牌为47张:

Y=X*-0.13%,当Outs不大于9的时候,翻牌用二四法则计算下一条街成牌概率的与实际差异不超过1.2%;

转牌未发出牌为46张:

Y=X*-0.17%,当Outs不大于7的时候,转牌用二四法则计算下一条街成牌概率的与实际差异不超过1.2%。

2、考虑两条街的情况下,二四法则计算成牌概率和实际的差异假设为Y,这时Y是Ous数量X的二阶函数,Y=X*(0.046%X-0.30%),函数的图形是下图中的红色折线:

德州扑克二四法则和所罗门法则的简单数学分析

我们可以看出,上图中

当X大于等于1且小于等于8的时候,Y的绝对值不超过1.2%(实际不超过0.56%);

当X大于等于9的时候,函数Y随着X增大迅速增加。

那么我们怎么来解决二四法则公式当X大于等于9的时候差异过大的问题呢?

这里就引入了所罗门法则所增加的修正项(X-8)*1%——当X大于等于9的时候,Y’=(X-8)*1%就是倾斜向上的蓝色折线这一段;

而Y-Y’的绝对值,即图中直观看红折线和蓝折线之间纵坐标差值,就是使用所罗门法则计算成牌概率和实际概率之间的差异。这个差异非常小,当X大于等于9,且小于等于21的时候,Y-Y’的绝对值不超过1.2%(实际不超过1.06%)

而除了一些奇葩的场景,翻牌Outs=21基本可以看做抽牌一方Outs最多的场景了,比如花顺双抽两高张vs顶对=KsQs vs Jc8c @Flop=JsTs2h。

因此我们可以看到所罗门法则在实际使用中覆盖面非常好。

三、总结

计算成牌概率时,当Outs数量在[1,8]区间的时候,我们使用二四法则;当Outs数量在[9,21]区间的时候,我们用所罗门法则。这样简化计算和实际的误差很小,通常不超过1.2%。

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